対数(log)とは具体的に何を意味するのか

$1000$ のことを $10^3$ と書くが、対数をとるというのは指数3を意味する。具体的な値だと大きすぎる場合に、対数を取ると支配的な部分だけ理解しやすい形にできる。

O記法などでよく対数という言葉が出るけれど、ふわっと for の数みたいに思っていたが正しい理解はしていなかった。